石家庄铁道大学2023年博士研究生招生初试数值分析考试大纲

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石家庄铁道大学2023年博士研究生招生初试数值分析考试大纲

一、总体要求

本门课程主要考查学生对数值分析的基本概念、基本原理和基本方法的理解及应用。要求学生掌握基本算法构造，熟练分析算法特点，具有应用基本原理分析、解决工程实际问题的能力。

二、考试形式

试卷一般采用客观题型和主观题型相结合的形式，主要包括填空题、简答题、计算题、证明题等，具体以实际考试为准。考试时间和总分以招生简章发布为准。

三、考试内容

1、基本概念

(1) 理解误差、误差限和相对误差、相对误差限的概念并掌握其求法。

(2) 理解有效数字的概念，并掌握有效数学与相对误差、误差的关系。

(3) 掌握避免误差传播的几种基本原则。

(4) 理解算法的收敛性和稳定性概念。

2、 插值、函数逼近及数据拟合

(1) 掌握Lagrange插值公式的构造以及误差分析。

(2) 掌握Lagrange插值基函数的性质。

(3) 掌握差商和Newton插值公式的构造以及误差分析。

(4) 掌握差分和等距节点Newton插值公式的构造以及误差分析。

(5) 掌握Hermite插值的构造以及误差分析。

(6) 理解逐次线性插值和分段低次插值的算法思想。

(7) 掌握三次样条插值的构造方法及样条函数的性质。

(8) 理解最佳一致逼近和最佳平方逼近算法的思想。

(9) 理解勒让德多项式和切比雪夫多项式的特点。

(10) 掌握一次最佳一致逼近多项式的构造方法。

(11) 掌握最佳平方逼近多项式构造方法。

(12) 掌握曲线拟合的最小二乘法。

3、数值积分与数值微分

(1) 掌握机械求积公式的构造原理以及基本概念。

(2) 掌握Newton-Cotes数值求积公式的构造及其收敛性和稳定性。

(3) 掌握复化求积公式和龙贝格外推法。

(4) 掌握高斯型求积公式的构造及其性质。

(5) 掌握插值型数值微分公式。

4、常微分方程数值解

(1) 掌握常见的单步法的构造及其收敛性和稳定性。

(2) 熟练龙格-库塔方法的构造原理。

(3) 理解线性多步法的算法思想。

5、非线性方程（组）求根

(1) 掌握二分法。

(2) 理解迭代法的算法思想。

(3) 掌握迭代法收敛性。

(4) 掌握牛顿迭代法的构造和收敛阶。

(5) 理解弦截法和抛物线法的算法思想和收敛性。

(6) 理解代数方程求根的秦九韶算法。

(7) 理解牛顿下山法的算法思想。

7、解线性方程组

(1) 掌握高斯消元法、列主元素法和完全主元素法。

(2) 掌握直接三角分解法。

(3) 掌握平方根法、改进的平方根法以及追赶法。

(4) 掌握常见的矩阵和向量范数。

(5) 掌握矩阵的条件数。

(6) 掌握解线性方程组直接法的误差分析。

(7) 掌握Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代。

(8) 理解超松弛迭代。

(9) 理解迭代法的算法思想。

(10) 理解迭代法的收敛性。

8、矩阵的特征值和特征向量

(1) 掌握幂法以及幂法的加速算法。

(2) 掌握反幂法。

(3) 理解Jacobi法和QR算法。

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